Bài tập ước chung và bội chung có đáp án

Bài tập ước chung và bội chung có đáp án .Bài viết này bao gồm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo đáp án chi tiết về ước chung và bội chung, các em có thể qua đó giải và làm tốt nó

Lý thuyết ước chung và bội chung

1. Ước và Bội.

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b còn b được gọi là ước của a.

Ví dụ : 18 ⋮ 6 ⇒ 18 là bội của 6. Còn 6 được gọi là ước của 18.

2. Cách tìm bội

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đớ với lần lượt 0, 1, 2, 3, …

 

Ví dụ : B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; … }

3. Cách tìm ước.

Ta có thể tìm ước của a (a > 1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Ví dụ : Ư(16) = {16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1}

4. Số nguyên tố.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

Ví dụ : Ư(13) = {13 ; 1} nên 13 là số nguyên tố.

5. Ước chung.

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

6. Ước chung lớn nhất – ƯCLN

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

7. Cách tìm ước chung lớn nhất – ƯCLN

Muốn tìm UCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là UCLN phải tìm.

 

Ví dụ: Tìm UCLN (18 ; 30)

Ta có:

Bước 1: phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

18 = 2.32

30 = 2.3.5

Bước 2: thừa số nguyên tố chung là 2 và 3

Bước 3: UCLN (18; 30) = 2.3 = 6

Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì UCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có UCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

8. Cách tìm ƯớC thông qua UCLN.

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ước của UCLN của các số đó.

9. Bội chung.

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó

x ∈ BC (a, b) nếu x ⋮ a và x ⋮ b

x ∈ BC (a, b, c) nếu x ⋮ a; x ⋮ b; x ⋮ c

10. Các tìm bội chung nhỏ nhất. (BCNN)

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

11. Cách tìm bội chung thông qua BCNN.

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

II. DẠNG BÀI VỀ UCNN

Dạng 1: Tìm Ước chung lớn nhất của các số cho trước

Phương pháp: Thực hiện quy tắc ba bước đề tìm UCLN của hai hay nhiều số.

 

Ví dụ 1: Tìm UCLN của:

a) 16, 80, 176

b) 18, 30, 77.

Giải:

a) 16 = 24

80 = 5.24

176 = 11.24

Thừa số chung là 24 = 16 Đây là UCLN của 3 số đã cho.

b) 18 = 2.3^2

30 = 2.3.5

77 = 11.7

Thừa số chung là 1 –> Đây cũng là UCLN cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm UCLN rồi tìm các ước chung của:

a) 16 và 24

b) 180 và 234

c) 60, 90 và 135

Giải:

a) 16 = 24

24 = 3.23

–> UCLN(16,24) = 23 = 8.

Các ước chung của 16 và 24 chính là các ước của 8. Đó là: 1; 2; 4; 8.

Phần b và c gia sư môn toán lớp 6 chỉ đưa ra đáp án còn cách giải cụ thể các em hãy tự làm và tham khảo thêm hướng dẫn của các gia sư nhé.

b) UCLN(180,234). Các ước chung là: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

c) UCLN(60, 90, 135). Các ước chung là: 1; 3; 5; 15.

Dạng 2: Bài toán đưa về việc tìm UCLN của hai hay nhiều số

Phương pháp:

Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm UCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 | a và 700 | a.

Giải:

Theo đề bài a phải là UCLN(420,700) mà UCLN(420, 700) = 140. Vậy a = 140.

Dạng 3: Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

  • Tìm UCLN của hai hay nhiều số cho trước;
  • Tìm các ước của UCLN này;
  • Chọn trong các số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ: Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn giải:

UCLN(144, 192) = 48.

Ước của 48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

III. DẠNG BÀI VỀ BCNN

Dạng 1: Nhận biết và viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số

Phương pháp giải

 

Để nhận biết một số là bội chung của hai số, ta kiểm tra xem số này có chia hết cho hai số đó hay không?

Để viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các bội của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.

Dạng 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước

Phương pháp giải

Thực hiện quy tắc “ba bước” để tìm BCNN của hai hay nhiều số.

Có thể nhẩm BCNN của hai hay nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với 1,2, 3,… cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại.

Dạng 3: Bài đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước

Tìm BCNN của các số đó ;

Tìm các bội của các BCNN này;

Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

– Tìm hai số khi biết ƯCLN và BCNN

– Tìm hai số khi biết tích và BCNN

– Tìm hai số khi biết thương và BCNN

VD1: Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.

Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

A/ Bài tập về ước chung

I/ VÍ DỤ

Ví dụ 1.

1) Số 12 có là ước chung của 24 và 40 không? Vì sao?

2) Số 13 có là ước chung của 65; 117; 195 không? Vì sao?

Lời giải

1) Do 40 không chia hết cho 12 nên 12 không là ước chung của 24 và 40

2) Do 65 = 13.5; 117 = 13.9; 195 = 13.15 nên 13 là ước chung của 65; 117; 195

Ví dụ 2. Xác định các tập hợp

1) Ư(15); Ư(27); ƯC(15; 27)

2) Ư(16); Ư(20); Ư(30); ƯC(16; 20; 30)

Lời giải

Trước hết phân tích các số ra thừa số nguyên tố, rồi dung nhận xét về ước số.

1) Do 15 = 3.5 nên Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Do 27 = 33 nên Ư(27) = {1; 3; 9; 27}. Từ đó suy ra ƯC(15; 27) = {1; 3}

2) Do 16 = 24; 20 = 22.5; 30 = 2.3.5

=> Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}; Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20};

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

Từ đó suy ra ƯC(16; 20; 30) = {1; 2}

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1. Xác định các tập hợp

a) Ư(25); Ư(39); Ư(25; 39).

 

b) Ư(100);Ư(120);Ư(140);Ư(100; 120; 140).

Bài 2. Một khu đất hình chữ nhật dài 60 m, rộng 24 m. Người ta cần chia thành những khu đất hình vuông bằng nhau (độ dài cạnh là một tự nhiên mét) để trồng hoa. Hỏi có bao nhiêu cách chia? Cách chia nào thì diện tích hình vuông lớn nhất?

Bài 3. Bạn Lan có 48 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh, 66 viên bi vàng. Lan muốn chia đều số bi vào các túi sao cho mỗi túi đều có cả ba loại bi. Hỏi Lan có thể chia bằng mấy cách chia? Với cách chia bi vào nhiều túi nhất thì mỗi túi có bao nhiêu bi mỗi loại?

Bài 4. Linh và Loan mua một số hộp bút chì màu, số bút đựng trong mỗi hộp bằng nhau và lớn hơn 1. Kết quả Linh có 15 bút chì màu, Loan có 18 bút chì màu. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Bài 5. Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào “Tết trồng cây”. Mỗi em trồng được số cây như nhau. Kết quả lớp 6A trồng được 132 cây, lớp 6B trồng được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Bài 6. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia số 111 cho a thì dư 15, còn khi chia 180 cho a thì dư 20

B/ Bài tập về tìm ước chung lớn nhất

I/ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm ƯCLN của:

1) 32 và 80 2) 16; 32 và 128 3) 2009 và 3000

Lời giải

1) ƯCLN(32; 80) = ƯCLN(32; 16) = ƯCLN(16; 0) = 16

2) ƯCLN(16; 32; 128) = ƯCLN(16; 0; 0) = 16

3) ƯCLN(2009; 3000) = ƯCLN(2009; 991) = ƯCLN(991; 27) = ƯCLN(27; 19) = 1

Ví dụ 2. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 120m, chiều rộng 36m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Muốn số cây phải trồng ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây trồng liên tiếp phải lớn nhất, ta gọi khoảng cách này là a mét () thì a phải là số lớn nhất sao cho và .

Vậy a = ƯCLN(120; 36)

Ta có 36 = 22.32; 120 = 23.3.5 nên a = 22.3 = 12

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây trồng liên tiếp là 12 m

Chu vi của vườn là: (120 + 36).2 = 312 (m)

Tổng số cây ít nhất phải trồng là: 312 : 12 = 26 (cây)

Ví dụ 3. Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của các số sau

1) 60 và 88 2) 150; 168; 210

Lời giải

1) 60 = 22.3.5; 88 = 23.11

Nên ƯCLN(60; 88) = 22 = 4 ƯC(60; 88) = {1; 2; 4}

2) 150 = 2.3.52; 168 = 23.3.7; 210 = 2.3.5.7

Nên ƯCLN(150; 168; 210) = 2.3 = 6 ƯC(150; 168; 210) = {1; 2; 3; 6}