Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng – ví dụ minh họa

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Để giúp các bạn nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của góc giữa 2 mặt phẳng.

Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

  • Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
  • Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

Phương pháp tìm góc giữa 2 mặt phẳng – Góc giữa mặt bên và mặt đáy

Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Bước 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt
Bước 2: Từ điểm còn lại của mặt bên (thường là từ đỉnh), hạ vuông góc xuống mặt kia
Bước 3: Tiếp tục hạ vuông góc với giao tuyến
Bước 4: Nối lên điểm còn lại ở B2. Đỉnh góc nằm trên giao tuyến

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật AB=a; AD=2a; SA=2a.
a) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
c) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
Giải:
a) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
+ Giao tuyến CD
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy tại A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến ta được AD
+ Nối D với S ta được góc SDA
+ Tính góc: Thấy tam giác SAD vuông cân nên \[\widehat {SAD} = {45^0}\]
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
+ Giao tuyến BC
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy tại A
+ Từ A hạ vuông góc vào giao tuyến ta được AB
+ Nối B với S ta được góc SBA
+ Tính góc:
– Tam giác SAB vuông tại A nên:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SBA} \approx {63^0}
\end{array}\]
c) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
+ Giao tuyến BD
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy ta được A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến BD ta được AH
+ Nối H với S ta được góc SHA
+ Tính góc
– Tam giác ABD vuông tại A, theo hệ thức lượng:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\
\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}
\end{array}\]
– Tam giác SHA vuông tại A:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}} = \sqrt 5 \\
\Rightarrow \widehat {SHA} \approx {66^0}
\end{array}\]
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuôn góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a. Cho SA = 3a/2
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Giải:

+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABC) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc vào BC ta được điểm M (M là trung điểm của BC)
+ Nối M lên S ta được góc SMA
+ Tính:
– Tam giác SAM vuông tại A nên: \[\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}}\] Với \[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (đường cao của tam giác đều)
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \\
\Rightarrow \widehat {SMA} = {60^0}
\end{array}\]
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Tính góc giữa (BDA’) và (ABCD)
Giải:

+ Giao tuyến BD
+ Từ điểm A’ kẻ vuông góc xuống đáy (ABCD) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến ta được O (O là giao 2 đường chéo)
+ Nối O với A’ ta được góc A’OA
+ Tính
– Có \[AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
– Tam giác A’AO vuông tại A:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {A’OA} = \frac{{A’A}}{{AO}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \\
\Rightarrow \widehat {A’OA} \approx {55^0}
\end{array}\]
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, \[SA = a\sqrt 2 \]. Đáy là hình thang vuông tại A và D, biết AB=2a; AD=DC=a.
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Giải:

+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABCD) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc và giao tuyến BC ta được điểm C (chứng minh bằng hình học phẳng)
+ Nối C với S ta được \[\widehat {SCA}\]
+ Tính: Tam giác SAC vuông cân nên \[\widehat {SCA} = {45^0}\].
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC vuông tại C và BC=a/2.
Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy.
Giải:
+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABC) ta được H (H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều và (SAB) vuông với đáy)
+ Từ H kẻ vuông góc vào giao tuyến BC ta được M (M là trung điểm của BC do HM//AC và H là trung điểm của AB)
+ Nối M với S ta được \[\widehat {SMH}\]
+ Tính \[\widehat {SMH}\] dựa vào tam giác SMH vuông tại H; cần tính SH và HM
– Tam giác SAB đều nên \[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
– HM là đường trung bình của tam giác ABC nên:
\[\begin{array}{l}
AC = \sqrt {A{B^2} – B{C^2}} \\
{\rm{ = }}\sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow HM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\]
Vậy \[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SMH} = \frac{{SH}}{{HM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SMH} \approx {63^0}
\end{array}\]