Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau lớp 11

Kĩ thuật tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau lớp 11. Ôn thi THPT quốc gia – Hình học không gian lớp 11.

Kĩ thuật tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Kĩ thuật tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa và tính chất

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung

Cấp độ 1: Một trong hai đường a, b là đường cao của chóp

PP: Từ chân vuông góc của chóp, kẻ đường vuông góc vào đường kia rồi chứng minh đó là đoạn vuông góc chung.
Ví dụ: S.ABCD đáy hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. I thuộc BC và BI = 2IC
a) Tính d(SA; BD)
b) Tính d(SA; DI)

Giải:

a) Thấy SA là đường cao của chóp, chân đường cao tại A, từ A kẻ vuông góc vào BD ta được AO.

+ Chứng minh AO là đoạn vuông góc chung như sau:

\[\begin{array}{l}
AO \bot BD\\
SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AO
\end{array}\]

Vậy AO là đoạn vuông góc chung của SA và BD; ta có \[AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

b) SA là đường cao, từ A kẻ vuông góc vào DI tại H

Tính AH dựa vào diện tích tam giác AID

\[{S_{AID}} = \frac{1}{2}AD.{h_I} = \frac{1}{2}.AD.AB = \frac{{{a^2}}}{2}\]

Mặt khác: \[{S_{AID}} = \frac{1}{2}AH.DI\]

với \[DI = \sqrt {D{C^2} + I{C^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\]

Thay vào ta được:

\[\begin{array}{l}
\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{1}{2}AH.\frac{{a\sqrt {10} }}{3}\\
AH = \frac{{3a}}{{\sqrt {10} }}
\end{array}\]

Cấp độ 2: Không có đường nào là đường cao của chóp

+ Tìm (P) chứa b sao cho (P) vuông góc với a.
+ Tìm xem (P) vuông với a tại điểm nào, chẳng hạn là H; từ H dựng đoạn vuông góc HK vào b thì HK là khoảng cách cần tìm.
Lưu ý: b là đường không nằm ở đáy, a nằm ở dưới mặt đáy. Tức là đi tìm mặt phẳng (P) chứa cái đường trên cao.

Ví dụ 1: Chóp S.ABC có (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; \[SA = a\sqrt 3 \], đáy ABC đều cạnh a; I là trung điểm của AB
Tính d(SB; CI)
Giải:


+ Xác định: CI nằm ở đáy, SB nằm phía trên cao, ta đi tìm một mặt phẳng chứa SB và vuông góc với CI
Ta thấy (SAB) chứa SB và CI vuông với (SAB) (học sinh tự chứng minh)
+ (SAB) vuông với CI tại điểm I, từ I kẻ IK vuông góc với SB.
Ta được IK = d(SB; CI)
+ Tính IK

Tam giác BIK đồng dạng với tam giác BSA nên

\[\begin{array}{l}
\frac{{KI}}{{SA}} = \frac{{IB}}{{SB}}\\
\Leftrightarrow \frac{{KI}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}}\\
IK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\]

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy tâm O, cạnh a; \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\] Tính d(AC;SD)
Giải:


+ AC nằm dưới đáy; SD phía trên, ta tìm mặt phẳng chứa SD và vuông với AC, đó là (SBD)
+ (SBD) vuông với AC tại O, từ O kẻ OH vuông góc với SD tại H
Khi đó OH = d(SD; AC)
+ Tính OH

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}}\\
*{\rm{ }}OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
*{\rm{ }}SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} \\
{\rm{ }} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{2}} = a\\
\Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\\
\Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\]

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại A; SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính d(SA; BC)
Giải:

BC nằm dưới đáy, ta đi tìm mặt phẳng chứa SA và vuông với BC, đó là (SAH)

Vậy (SAH) vuông góc với BC tại điểm H (học sinh tự chứng minh)

Từ H kẻ \[HK \bot SA\] ta được HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Tính HK:

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}\\
SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
AH = \frac{{BC}}{2}\\
 \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{13}}{{3{a^2}}}\\
 \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\\
\end{array}\]

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a; M và N là trung điểm của AB; AD. CN cắt DM tại H, biết SH vuông góc với đáy và \[SH = a\sqrt 3 \] Tính d(DM;SC)

Giải:

DM nằm dưới mặt đáy, cần tìm mặt phẳng chứa SC và vuông góc với DM.

Nhận xét thấy CN vuông góc với DM vì:

\[\begin{array}{l}
\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_2}}{\rm{ }}\left( {\Delta CND = \Delta DMA} \right)\\
\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}\\
\Rightarrow CN \bot DM
\end{array}\]

=> (SNC) chứa SC và (SNC) vuông góc với DM tại H (học sinh tự chứng minh)

Từ H kẻ HK vuông góc vào SC ta được HK là đoạn vuông góc chung của SC và DM. (tự cứng minh)

Tính HK \[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{C^2}}}\]

Với \[HC.CN = C{D^2}\] (hệ thức lượng trong tam giác vuông DNC

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow HC = \frac{{C{D^2}}}{{CN}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\\
\Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{2{a^2}}}{5}}} = \frac{{17}}{{3{a^2}}}\\
\Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {17} }}
\end{array}\]